垂線のひき方で…

直線Ａ上ではない点Ｂから直線Ａへ垂線をひけ、という問題です。

一般的には①のように、点Ｂをコンパスの軸として直線Ａに２交点をとってから…ですが、
そうではない方法で、②の様に、任意の点ＰとＱを直線Ａ上にとり、
点Ｂを通るように点Ｐと点Ｑを中心とした半円をそれぞれ描きます。
点Ｂと対象の位置にある交点を求め、その点とＢを結んで③の様にしたとき、
直線Ａ⊥ＢＣとなります。

この場合、何で直線Ａ⊥ＢＣになるか、中学生の学習範囲で証明できますか。

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教師だな貴様ｯ

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よく知らないけど、証明っていうか「円の接線と半径」に関する定理なんじゃないの？

もし自分ならこんな感じで解答してみる

哿BPQは哿DPQと合い対する三辺の長さが等しいので対称形。
且つ、両図形における辺PQは同一かつ線A上にあるので、線Aに対して両図形は線対称形。
従って、頂点BとDも共に線Aに対して線対称の関係。
線対称にある点どうしを直線で結んだ場合、その線は対称線に対して直角に交わる。
よって、線Ａ⊥線ＢＣ。

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>>3
の図をつかって適当に回答してみる。本当に適当なやつね。

三角形ＱＢＤも、三角形ＰＤＢも、二等辺三角形である。
両三角形は底辺を共有し、（高さが違う。）ているので、

両三角形の頂点を結ぶ線は、それぞれの二等辺三角形の底辺ＢＤを二分する点Ｃを通過する。
よってＢＤとＣＱは直角に交わる。

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下の交点をＤとすると、

△ＢＰＱと△ＤＰＱにおいて
　仮定より（コンパスで作図したことから）
　　　ＢＰ＝ＤＰ
　　　ＢＱ＝ＤＱ
　またＰＱは共通
３辺がそれぞれ等しいので
△ＢＰＱ≡△ＤＰＱ

２つの三角形は直線Ａを対称の軸とする線対称な図形なので
対称の軸Ａは、対応する２点を結ぶ線分ＢＰを垂直に２等分する

よって、ＢＣ（ＢＤ）はＡＣに垂直である

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２つの三角形は直線Ａを対称の軸とする線対称な図形なので
対称の軸Ａは、対応する２点を結ぶ線分ＢＰを垂直に２等分する


の２行目は、「線分ＢＤを垂直に２等分する」の間違い・・・orz

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>>3
ＢＰ＝ＤＰ
ＢＱ＝ＤＱ
ＰＱ＝ＰＱ
３辺がそれぞれ等しいので
△ＢＰＱ≡△ＤＰＱ
∴∠BQP＝∠DQP

また
△BQCと△DQCにおいて
ＢＱ＝ＤＱ
ＰＱ＝ＰＱ
∠BQP＝∠DQP
∴△BQC≡△DQC
∴∠BCQ＝∠DCQ＝90°


以上より
直線Ａ⊥ＢＣ

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