日本の算額問題は凄い！

　講習Text表紙に何が良いかを考えて検索していたら、
明和水産の画像に出会いました。似たImageに
Wolfram Mathworldがあるのを思い出し、探したら、
この図を見つけました。10年以上前に解いた問題と
同じだったので、今回投稿します。

算額問題ですが、関連する事柄は多様で、学習に有益です。

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　冒頭の「算額問題」の解答と関連する問題を２問投稿します。
全部で、JPEG画像で５枚あります。
いずれも、表記の本に載っていたものに加筆しました。
まず，１枚目

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余裕でわかるわ。

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続いて、２枚目です。

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削除（by投稿者）

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あ、間違えてました。消しときます。

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三角定規で作図出来る物で在れば、○○の定理。
＋コンパスを必要とするときは、○○の定理となります。
分度器が必要で在れば、○○の定理です。
え〜　先ず図を書いてみますと、三角定規とコンパスで書く事が出来ます。
分度器は必要ありません。
したがって、○○の定理で証明する事が出来ます。

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続いて、３枚目です。

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これが４枚目かな。
分からなくなってきます。

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これが最後の５枚目になります。

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①吉田為幸の生涯は１８１９年〜１８９２年だったそうです。満７３年ですので,当時としては，かなり長寿な方ですね。

②「研究１」の問題は、
群馬県高崎市石原町清水勧世音堂に享和３年(１８０３年)に掲額されたそうです。
ただし、この算額は現存しません。

③「研究２」の問題は、
福島県伊達郡川俣町宮前川俣春日神社に明治１３年（１８８０年）に掲額され、
この算額は現存するそうです。

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>>2
2行目の「・・・①」まで確認した。…疲れた。

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原寸表示でご覧になっていらっしゃると思いますが、
印刷できますので、疲れますので、印刷して考えましょう。
ＰＤＦはその点便利で使いやすいですね。

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>>13
回答の式の意味を理解しながら検証もするのは大変だなあ、という意味です。難しくてよくわからないし…。
そんな訳で自分ならどうするか検討していました。その方が楽しいかなと。

まず右図を見て下さい。
ここでは考えやすい様に中円の端である点Ｂを点Ｏ2と同位置に設定してあります。
そして大円と中円に接する小円を、あえてＯ3Ｂが線ＡＣと直交する様に配置しています。
これで設問の条件の80%は満たした状態です。

さて、この時中円・小円の半径及びＯ3Ｂから小円の半径を引いた値の関係を計算してみました。
中円の半径をa 、小円の半径をc=1 、ＯＢ-c をx 、として三平方の定理から:

(c+a)^2=a^2+(c+x)^2
中略
a=x+x^2/2c
xは2a-2cなので
中略
a=1.5c
cは1としたので、a=1.5

次にxに関して同定理より、

1.5^2+(1-x)^2=2.5^2
中略
x^2+2x=3
∴ x=1

つまり小円の半径は、大円の半径の1/3なのです。
そして残りの20%、右の二等辺三角形に注目します。
この右辺が、小円とぴったり接しているかどうかです。

（つづく）

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（つづき）
図を貼り忘れました。

まず強引に∠ＮＢＣを60°に取ります。
ＮＢ=ＢＣなので△ＮＢＣは正三角形であり、設問の二等辺三角形との条件も満たしています。（ここからが複雑）
Ｏ3から線ＮＢに垂線を引き、交点をHとする。
∠HＢＯ3は30°なので∠ＢＯ3Hは60°であり、△Ｏ3HＢは直角三角形。
その斜辺Ｏ3Ｂは上記値にして2であり、小円との交差地点（点Ｌとする）により二等分される。
直角三角形の斜辺を二等分しているので、Ｏ3Ｌ=ＬH。
Ｏ3Ｌ=ＬＢなのでＬH=ＬＢとなり、△ＬＢHは二等辺三角形三角形。
よって∠ＬＢH=∠ＬHＢ=30°であり、∠ＬHＯ3=60°。
△ＬHＯ3は二等辺三角形なので∠ＬＯ3H=60°であると同時に正三角形。
ということはＯ3Ｌ=Ｏ3HであるからＯ3Hは小円の半径。
Ｏ3HはＮＢへの垂線なので、小円は線ＮＢにずれずにぴったりと接していることになる。

以上ですが、これは図の様に中円の直径が大円の半径と等しいとき、設問の条件を満たす小円の中心Ｏ3は点Ｂで交差しているＡＣとの垂線上にある、ということです。
つまり中円が任意の大きさに変化する状況下では、あくまで「そういう瞬間ないし構図がある」ということを証明したに過ぎません。
でも自分としてはこれが精一杯です。
楽しみました、ありがとう。

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この問題解けたら、何に応用できるの？

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>>14
最後の行。「右辺」→「左辺」。
そろそろ訂正しておくね。

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