垂線のひき方で…

直線Ａ上ではない点Ｂから直線Ａへ垂線をひけ、という問題です。

一般的には①のように、点Ｂをコンパスの軸として直線Ａに２交点をとってから…ですが、
そうではない方法で、②の様に、任意の点ＰとＱを直線Ａ上にとり、
点Ｂを通るように点Ｐと点Ｑを中心とした半円をそれぞれ描きます。
点Ｂと対象の位置にある交点を求め、その点とＢを結んで③の様にしたとき、
直線Ａ⊥ＢＣとなります。

この場合、何で直線Ａ⊥ＢＣになるか、中学生の学習範囲で証明できますか。

返信する

削除（by投稿者）

返信する

>>8
点Cと点Pを書き間違えました
指摘どうもです

追加の一行は必要ないと思います

あえて書くとしたら

∴△BQC≡△DQC
∴∠BCQ＝∠DCQ
∠BCD＝180°より
∴∠BCQ＝∠DCQ＝90°
以上より
直線Ａ⊥ＢＣ

返信する

考えてみると当り前というか馬鹿々しくも難しい。

ここに底辺を同じくするa,b二つの二等辺三角形がある。
このとき互いの頂点どうしを結んだ線PQが、
それぞれにとって底辺と直角に交わる二等分線であることを証明せよ。
尚、線PQが底辺BDと交わる仮想点をCとする。

“正三角形の内角が全て等しいことを証明せよ”みたいな。

返信する

質問は「PQはBDを垂直に２等分することを証明せよ」って言い方がよく使われます。

（証明）
△BPQと△DPQにおいて
仮定よりPB=PD，QB=QD
PQは共通(で等しい)
３辺がそれぞれ等しいので
△BPQ≡△DPQ
よって∠BPQ(BPC)=∠DPQ(DPC)
二等辺三角形PBDの頂角BPDを２等分しているので
「二等辺三角形の頂角の二等分線の定理」より
PQ(PC)は底辺BDを垂直に２等分する
（以上）

（参考に）
定理名「二等辺三角形の頂角の二等分線の定理」は
本文が「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に２等分する」です。
ってタイトルが本文の主語と全く同じ・・・



（「△ABCにおいて、AB=BC=CA ならば ∠A=∠B=∠Cである」ことの証明）

仮定よりAB=BC
二等辺三角形の２つの底角は等しいので
∠A=∠C
またBC=CAより同様にして∠B=∠A
よって、∠A=∠B=∠C

返信する

>>12
素晴しいっ！
>1の問題は突き詰めればこんな笑える問題になるね、ってつもりだったんだが
定理を使ってきちんと証明できるんだね。しかも冗談で書いた正三角形まで…。
数学って何事にも大真面目で面白い。

返信する

削除（by投稿者）

返信する

削除（by投稿者）

返信する

t

返信する