分数と少数の謎！

長さ9ｃｍの紙を図のように正三角形に折った場合一辺の長さは3ｃｍです。

では、長さ10ｃｍの紙を折った場合の一辺の長さを分数で表すと　　

　　10ｃｍ×1/3

なので（10ｃｍ　×　1/3）　×　3辺　＝　10ｃｍ

　
　では、一辺の長さを小数点で表すと、3.33333....と無限に続く。

　だが、　3.333333.....　×　3　＝　9.99999...　となり10ｃｍにならない！

限りなく10ｃｍに違いが絶対に10ｃｍにはならない。

10/3　≠　3.33333....ですか？

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麻疹みたいなもんかな

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結局のところ。
１＝０．９９９９９９９９…
と同じ議論。

０．９９９９９９９９…はどこまで無限に桁を下げて細かく見ても１と変わらないのだから、
１と同じものであるという理屈。

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＞3.333333.....　×　3　＝　9.99999...　となり10ｃｍにならない！

実はここがトラップだ

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本当は、9.99999...なんて数は存在しないのだよ
便宜上存在してるようにしているだけ
だから不思議でもなんでもない

>>1
「１０÷３×３＝１０×３÷３　なのはなぜなのか？」
というようにしとけばわかりやすかったのに

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/

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3.33333....をaとすると
10aは33.33333....になるでしょ
で10a-a=9aは
33.33333....-3.33333....=30になるから
9a=30
3a=10
3aは9.99999...だから
9.99999...=10なわけだ

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＞33.33333....-3.33333....=30になるから

未確定の値から未確定の値を引くんだから
永遠に確定できずに29.99999....としか表現できないんじゃない？
10倍したときに確定できなかったのと同じ様に。

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>>8
言いたいことは、なんとなくわかるけど
逆に考えてみると
30に3.33333....を足すと33.33333....になるでしょ

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一見なるね。

でも、そもそも
3.33333....を10倍した33.33333....（a）から3.33333....を1コ引くというのは
3.33333....が9コ残るというだけの話しで、
3.33333....に30を足した33.33333....（b）から3.33333....を引くのとは違う気がする。
つまりaとbは同じ様に見えて違う値だと思うんだよね。
たぶん小数点のずっと下の方で微妙に違うんじゃないかと。

3.33333....　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.3333....
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　　　　　　　　　　＋
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　　　　　　　┌────┐　
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　　　　　　　│　　　　│
3.33333....−３３．３３３３．．．．＝　3.33333....　　　　　　　│　　　　│
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　　　　　　　│　３０　│
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　　　　　　　│　　　　│
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　　　　　　　│　　　　│
3.33333....　　　　　　　　　　　　　　3.33333....　　　　　　　└────┘
─────────────────────────────────────────
　　ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　≠３０　　　　　　　　　　　ｂ

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>>11
なるほどね
＞3.33333....が9コ残るというだけの話しで、
確かに3.33333...を9倍すると
29.99999...になるから、
そうすると話は振り出しに戻っちゃうね

じゃあもうちょっと違うのを

30から29.99999...を引くと
0.0000...と無限に0が続く数になるよね
いつかどこかで1が現れるということはない。ずーっと0。
んで30-30は、もちろん0だ。
その0の小数点第一位は0で第二位も0、
0は0.0であり0.00でもある。
小数点以下は、ずーっと0。

ということは、
30-29.99999...=0.0000...（a）
30-30=0　上記の説明から0=0.0000...（b）
（a）と（b）が同じなので
30-29.99999...=30-30
∴29.99999...=30

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このスレの住人limitとかΣをしらんのか？

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>>13
それじゃあ問題の根本の説明にならんでしょ
身も蓋もないっていうか
そもそも問題の根本が数学でもない可能性が…

なので、できるかぎり文章で説明できればと

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>>12
なんかどっかでも見たような気がするから最近は
そういうことになってるのかも知れないね。

ただ、0は0.000...でいうと0がずーっとつづくっていうのは
わかる（完結してるんであえてつづける意味はないけど）んだけど、
30から29.999...を引いた0.000...の場合、永遠に0がくるとは言っても
実は１桁下がるごとにその桁の10進法では表現できない微細な値を
内包している状態が連鎖的に続いているだけなんじゃないかと思うんだ。
それを永遠に続くから0と言いきるっていうのは円周率はいつかは止まるって
考える事と同じなんじゃないだろうか？

図で言うと線ACをどんなに細分化して行っても弧ACとは永久に同化しないが故に
円周率が終わらないって事を否定しちゃうみたいな。

0は0とだけ表記して、0.000...は0+アルファ（永遠に小さいが絶対的に存在する値）
ってことじゃ駄目でしょうか。
観念的な話しなんで正解はないかも知れないけど。（by 8,11）

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>>15
30から29.999...を引いた0.000...が0と同じっていうよりも
30-30=0の0を0.000...にしたとき
30から29.999...を引いた0.000...と同じになるって言いたかった。

円周率の話は
線ACと弧ACが同化しないってことは
双方の差が0にならないってことなので
弧AC-線AC=0.000001みたいに
Pの内角を0にならないよう細分化していく限り
いつかは小数点以下の0の連続の後に1以上の数字がでてくることが決まっているわけだ。
30-29.999...=0.000...は、いつまでも1が出てこないと決まっている。
似てるようで逆のことなんだと思う。

＞0は0とだけ表記して、0.000...は0+アルファ（永遠に小さいが絶対的に存在する値）
＞ってことじゃ駄目でしょうか。
0は0.000...とも表記できるよねって提案だから
0とだけ表記してって言われたら駄目としか答えられない。

＞観念的な話しなんで正解はないかも知れないけど。
そこを数学的に考えて正解に近づこうって感じだよね。

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６行目と同じ疑問を５行目に感じないのが不自然なんだよ。

>　では、一辺の長さを小数点で表すと、3.33333....と無限に続く。

正しくは、
　では、いっぺんの長さを小数点で表そうとすると、3.33333....といくら続けても
　それでも10/3にならない！

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>>16
そうか、どうもそっち（0.000...）の方にポイントがあるみたいだね。
円周率の話しも似てると思って引き合いに出しただけだけど一歩深まったよ。

さてじゃあ0を0.000...と表現できるか、或いは同じかなんだけど、
0.の後に全く期待するものがないという出発点からあえて
.000...と付け足して表わすことに妥当性があるだろうか。
何かが来ると期待させてしまう表現なんではないだろうか。
例えばここでは1 - 0.999...の答えは0.000...と表わしているけど
その意味するところは...1　。つまりいつか1が来るけどその長さは
引く側の999...の連続をやめるまでは来ないよ。ってことだよね。
だから答えとしての0.000...には0.000...1という意味が込められている訳で、
0をそんな存在と同義になってしまう数字で表わすのはまずいんじゃないかな。
0を0.000...と表現することに問題があるとするか、さもなければ
前述の答えを0.000...1と表現するかして分けないといけないと思う。
行き詰まってちょっと調べたら無限小数（1/∞）なんて表現もあった。

ただし、そういう無限につづく小数との関わりを考えないという前提であれば
「0とは小数点の後に永遠に0が続く存在である」と定義する事を目的として便宜上
0.000...と表現することには異存はないよ。個人的には。
正直、考え方の問題じゃなくてテクニカルな表現方法の問題なのだとよく知らない。
きっと数学者には数学的なルールがなにかあるんだと思うな。（by 15）

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>>1　が勝者である点は、意味も無く図形を付けた事。釣れますなぁ。
この話は、
１＝０・９９９９９９９９…と同じなんだけど。
どこまで行っても無限に差が見つからないので、
１＝０．９９９９９９９９…。

これって常識なんだお。
俺は全然違うんだけど、数学者の世界では、基本なんだお。

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そうなんだ。何かそんな気がしてた。
数学者が決めたルールがあるならそれに従えば
いいっていうスタンスだったんだけど、
１≠０．９９９．．．じゃない、つまり永遠は認めない
ってことにする事の合理性がみつからない。
それどころかかえって疑問が増す。

例えばA地点から１Kmの距離にあるBが、一日にAまでの距離の9/10ずつ進むとする。
BばAに着いたら祝福の花火を上げる様にプログラムされている。
一日目は900メートル。二日目は90メートル。三日目は9メートル。
以降、90センチ、9センチ、9ミリ・・・
BはいったいいつAにたどり着くのか。
これを式にすると1 x (9/10)＾∞じゃないかと思うんだけど、
仮に半分ずつ進む1 x (1/2)＾∞、或いは
１００分の１ずつしか進まない1 x (1/100)＾∞
１兆分の１しか進めない1 x (1/10＾12)＾∞
であっても進んでいる以上いつかは着く、着いたも同然ということになるよね。
いつかは残りのエックス x (9/10) = 0 って日が来て花火が上がるわけだ。

一定の距離や値を永遠に細分化することは認めないというなら
円周率が計算できないんじゃないかと思う。

物理学者がクウォークだの量子力学だのを持ち出して否定するならまだしも
数学者がそれを認めないなんて俺には理解できない。

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>>21
永遠を認めるから
１＝0.9999...になると思うんだが
＞１≠０．９９９．．．じゃない、
否定を繰り返してるのでいまいち文意がつかめないけど。
「１≠０．９９９．．．じゃない」→「1＝0.999...である」ってことかな。

＞BはいったいいつAにたどり着くのか。
＞これを式にすると1 x (9/10)＾∞じゃないかと思うんだけど、
これは「いつ」じゃなくて∞日目に進んだ後の「残りの距離」の式じゃないかと思うんだけど（違うかもしれないが）
正確には(1-9/10)＾∞ かな？（残りの距離の9/10進むから）
(1-9/10)＾nでｎ日目の残りの距離になる。これが0になるｎ日目に辿り着いたと言えるけど、
1-9/10は1/10なので(1/10)＾nになり、
10日目なら0.0000000001km。これが0になる日は来るのだろうか？

＞であっても進んでいる以上いつかは着く、着いたも同然ということになるよね。
着いたも同然っていう言い方は「厳密には着いてはいない」とも聞こえるんだけど。
いつか着くっていう「いつか」ってのが大切だよね。

＞いつかは残りのエックス x (9/10) = 0 って日が来て花火が上がるわけだ。
エックス x (9/10) = 0ってことはエックスは0ということになるよね。
つまり、その前日にすでに辿り着いてるということになってしまう。

誰か永遠を認めないってことにするなんて事言った？

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ごめんごめん、さっき式の間違いに気付いて今来たところだ。
進む距離の式を言いたかったんで1-(1/10)＾∞ です。取り合えず。
レス内容については良く読んで返レスします。

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>>22
読みました。
式の解釈に関する項目については正した通りで、
この設定そのものが0.999...という値が永久に１未満であるということを説明する為に
現実？に置き換えた場合に生じるパラドクスとして提示したものです。
だからポイントは着くのか着かないのか、
つまりBの進む距離は1kmに達するのか否か、です。
1=0.999...であれば花火が上がる筈です。

「永遠」に関しての記述は誰が言ったから誰に対してとかでなく
>>19にもある、数学上は1=0.999...である、という立場は
永遠を認めないことで生じているのではないかという、自分の考察からです。

また、これも数学という学問に対する感想と思ってほしいんだけど、
そもそも0.999...という記述において（ほんとは0.9...だけでいいんだったっけ？）
...の意味は同じ数列が永遠に続くものと定義されているんだと思う。
つまり数学は少なくとも定義においては「永遠」という概念を認めているわけだ。
だったら「永遠に差はある」と認めることもできるんじゃないだろうか。
永遠にその差が確定できない、無限に小さい、ということと
だから無いものにするということには論理的な飛躍があると思う。

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>>24
文系発想・・・理数系の思考じゃないね・・・なんていう見方もある・・・カモメ

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>>25
そうそう、文系（法）の分際でおじゃましてます。
なんか壁あんだな、きっと。この辺でやめといた方が身の為っぽい。
ダダこねて済みませんでした。

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2.000... − 1.999... = 0.000... ですね。
では、0.000...とはどのような数字でしょうか？
問題は最後に行き着く数字です。
0.000...1でしょうか、それとも0.000...0でしょうか？
答えは、最後もやはり「０」ですね。
よって、0.000...＝0であり、2.000...＝1.999...となります。

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レス半分以上読まずにレスするけど、

0.99999999999…＝1

を納得できない人は数学無理だからあきらめろ。
レス読むだけでうぜえ

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>>27

目に留まったから一応突っ込んでおくけど、「最後」なんてない。

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>>1は非可換幾何学の本を読んでみると何かひらめくかも？！

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ここで問題です。
8.888...と、1.111...をそれぞれ分数で表してみましょう。
そうすれば、9.999...の正体が見えてくるでしょう。

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宇宙の広さが無限大だと、我々の存在は０になるということ？

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宇宙は、言葉を使って議論するうちは有限（言葉の制約が生じる為）だが、
言葉を使わずに、自ら宇宙と一体になる感覚を得た時に無限となるだろう。
つまりそこには、０も無限大も区別するものすら無くなると言うこと。

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>>33
8.888...=80/9,　1.111...=10/9
ということは・・・
9.999...=90/9=10
あっ答えは整数になった！

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10-(10/3)×3=
0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000・・・1

0、でいいんじゃないの？

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循環小数を分数に直すやり方
例1
0.2365236523652365...（以下2365が永遠に続く場合）
＝2365/9999（共通約数は11）
＝215/909
例2
23.1238383838...（以下38が永遠に続く場合）
＝(2312+38/99)/100
＝(2312*99+38)/(99*100)
＝228926/9900（共通約数は2）
＝114463/4950

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例3
0.3333...（以下3が永遠に続く場合）
=3/9（共通約数は3）
=1/3
例4
0.9999...（以下9が永遠に続く場合）
=9/9（共通約数は9）
=1/1
=1

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0.9999･･･＝１と定義する。
定義なんだからなんとも
１＋１＝２を証明せよという問題も定義よりと答えれば証明できるじゃないっけ

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「…」は、数学上の定義は無いんじゃない。ただ省略しているだけ。
それが循環小数だというのなら、0.999…=1なのは間違いないが、「…」そのものにはその意味は無い。
省略されているものが何かによる。

無限の宇宙のわれわれの存在は、0.000…
「…」ってなんだ？
そういうものを定義付けた別の学問があってもいい。

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以上のような数字解釈上の不毛な混乱、
あるいは計算上の無駄を解決するために
自然数、整数、有理数、無理数、はては虚数が定義されてるんだがな
ということで終了？

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謎でもなんでもない。

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数学に永遠なんて定義はない。
無限を理解できない人は、一生理解できない。

自分の感覚と違うからって、ダダをこねないように。
文句があるなら、新たな理論を作れば良い。

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